Cómo los agrimensores de la antigua Babilonia desarrollaron una forma única de trigonometría: 1000 años antes que los griegos

Profesor titular, UNSW Sydney

Daniel Mansfield no trabaja, consulta, posee acciones ni recibe financiamiento de ninguna empresa u organización que se beneficiaría de este artículo, y no ha revelado afiliaciones relevantes más allá de su cargo académico.

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Nuestra comprensión moderna de la trigonometría se remonta a los antiguos astrónomos griegos que estudiaban el movimiento de los cuerpos celestes a través del cielo nocturno.

Pero en 2017, mostré que los antiguos babilonios probablemente desarrollaron su propio tipo de "proto-trigonometría" más de 1000 años antes que los griegos. Entonces, ¿por qué los babilonios estaban interesados ​​en los triángulos rectángulos? ¿Para qué los usaron?

He pasado los últimos años tratando de averiguarlo. Mi investigación, publicada hoy en Foundations of Science, muestra que la respuesta estaba escondida a simple vista.

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Se han recuperado muchos miles de tablillas de arcilla de las ciudades perdidas de la antigua Babilonia, en el actual Irak. Estos documentos se conservaron bajo el desierto durante milenios. Una vez descubiertos, encontraron su camino en museos, bibliotecas y colecciones privadas.

Un ejemplo es el levantamiento catastral Si.427 de aproximadamente 3700 años de antigüedad, que representa el plano de un campo realizado por un topógrafo. Fue excavado por el padre Jean-Vincent Scheil durante una expedición arqueológica francesa de 1894 en Sippar, al suroeste de Bagdad. Pero su significado no se entendió en ese momento.

Resulta que Si.427, que ha estado en el İstanbul Arkeoloji Müzeleri (Museo Arqueológico de Estambul) de Turquía durante varias décadas y actualmente está en exhibición, es de hecho uno de los ejemplos más antiguos de geometría aplicada del mundo antiguo. Veamos qué lo hace tan especial.

Los antiguos babilonios valoraban la tierra tanto como lo hacemos hoy. Al principio, grandes extensiones de tierra agrícola eran propiedad de instituciones como templos o palacios.

Los topógrafos profesionales medirían estos campos para estimar el tamaño de la cosecha. Pero no establecieron límites de campo. Parece que esas poderosas instituciones no necesitaban un topógrafo, ni nadie más, para decirles lo que poseían.

La naturaleza de la propiedad de la tierra cambió durante el período babilónico antiguo, entre 1900 y 1600 a. En lugar de grandes campos institucionales, los campos más pequeños ahora podrían ser propiedad de personas normales.

Este cambio tuvo un impacto en la forma en que se midió la tierra. A diferencia de las instituciones, los terratenientes privados necesitaban topógrafos para establecer límites y resolver disputas.

La necesidad de una agrimensura precisa es evidente en un poema de la antigua Babilonia sobre estudiantes en disputa que aprenden a convertirse en agrimensores. El estudiante mayor amonesta al estudiante más joven, diciendo:

Ve a dividir una parcela, y no eres capaz de dividir la parcela; vas a repartir un campo, y ni siquiera puedes sostener la cinta y la varilla correctamente. Las clavijas de campo que no puede colocar; no puedes descifrar su forma, de modo que cuando los hombres agraviados tienen una pelea, no puedes traer la paz, pero permites que el hermano ataque al hermano. Entre los escribas, tú (solo) no eres apto para el barro.

Este poema menciona la cinta y la vara, que son referencias a las herramientas topográficas babilónicas estándar: la cuerda de medir y la vara unitaria. Estos eran símbolos venerados de equidad y justicia en la antigua Babilonia y a menudo se los veía en manos de diosas y reyes.

Los topógrafos babilónicos usarían estas herramientas para dividir la tierra en formas manejables: rectángulos, triángulos rectángulos y trapezoides rectos.

Anteriormente, antes de que los topógrafos tuvieran que establecer límites, simplemente hacían estimaciones agrícolas. Entonces, los ángulos de 90° en aquel entonces eran buenas aproximaciones, pero nunca fueron del todo correctos.

El estudio catastral de la antigua Babilonia Si.427 muestra los límites de una pequeña parcela de tierra comprada a un individuo conocido como Sîn-bêl-apli.

Hay algunas regiones pantanosas que deben haber sido importantes ya que se miden con mucho cuidado. Suena como un día normal de trabajo para un topógrafo de Babilonia, ¿verdad? Pero hay algo muy distinto en Si.427.

En levantamientos anteriores, los ángulos de 90° son solo aproximaciones, pero en Si.427 las esquinas son exactamente de 90°. ¿Cómo podría alguien con solo una cuerda de medir y una barra unitaria hacer ángulos rectos tan precisos? Bueno, haciendo un triple pitagórico.

Un triple pitagórico es un tipo especial de triángulo rectángulo (o rectángulo) con medidas simples que satisfacen el teorema de Pitágoras. Son fáciles de construir y tienen ángulos rectos teóricamente perfectos.

Los triples pitagóricos se usaban en la antigua India para hacer altares de fuego rectangulares, posiblemente desde el año 800 a. A través de Si.427, ahora sabemos que los antiguos babilonios los usaron para realizar mediciones terrestres precisas desde 1900 a.

Si.427 contiene no uno, sino tres triples pitagóricos.

Si.427 también nos ha ayudado a comprender otras tablillas de la época de la antigua Babilonia.

No todos los triples pitagóricos fueron útiles para los topógrafos babilónicos. Lo que hace que una terna pitagórica sea útil son sus lados. Específicamente, los lados tienen que ser "regulares", lo que significa que se pueden escalar hacia arriba o hacia abajo a cualquier longitud. Los números regulares no tienen factores primos aparte de 2, 3 y 5.

Plimpton 322 es otra tablilla babilónica antigua, con una lista de ternas pitagóricas que se parecen a una tabla trigonométrica moderna. Las tablas trigonométricas modernas enumeran las proporciones de los lados (¿sin, coseno y tan cualquiera?).

Pero en lugar de estas proporciones, Plimpton 322 nos dice qué lados de una terna pitagórica son regulares y, por lo tanto, útiles en la topografía. Es fácil imaginar que fue hecho por un matemático puro que quería saber por qué algunas ternas pitagóricas eran utilizables y otras no.

Alternativamente, Plimpton 322 podría haberse fabricado para resolver algún problema práctico específico. Si bien nunca sabremos las verdaderas intenciones del autor, probablemente se encuentre en algún lugar entre estas dos posibilidades. Lo que sí sabemos es que los babilonios desarrollaron su propia comprensión única de las ternas pitagóricas.

Esta "proto-trigonometría" es equivalente a la trigonometría desarrollada por los antiguos astrónomos griegos. Sin embargo, es diferente porque se desarrolló en respuesta a los problemas que enfrentaban los topógrafos babilónicos que no miraban el cielo nocturno, sino la tierra.

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cc a.c.